makalah antiturunan

Nama : Ika Incekaya

Nim    : 421410081

Kelas : Fisika C

ANTI TURUNAN ( INTEGRAL TAK TENTU )

1. Defenisi anti turunan

Kita sebut F suatu anti turunan dari f pada selang I jika DF = f pada I – yakni, jika F’(x) = f(x) untuk semua x dalam I. (Jika x suatu titik ujung dari I, F’(x) hanya perlu berupa turunan satu sisi.
NOTASI UNTUK ANTI TURUNAN. Karena kita telah memakai lambang Dx untuk operasi penentuan suatu turunan, adalah wajar untuk memakai Ax untuk operasi pencarian anti turunan. Jadi

Ax (x2) = 1/3 x3 + C.

Lalu Leibniz memakai lambang ∫ … dx yang disebut dengan notasi Leibniz, ditulis:

∫ x2dx = 1/3 x3 + C.

Teorema A
(Aturan pangkat). Jika r adalah sebarang bilangan rasional kecuali -1, maka

∫ xr dx = (xr+1) / (r + 1) + C.

Teorema B

∫ sin x dx = -cos x + C dan ∫ cos x dx = sin x + C

Banyak lagi yang dapat dikatakan mengenai cari penulisan (notasi). Dengan mengikuti Leibniz, kita sering memakai istilah integral tak tentu sebagai ganti anti turunan. Anti penurunan adalah juga mengintegralkan. Dalam lambang ∫ f(x) dx, ∫ disebut tanda integral dan f(x) disebut integran.

Teorema C

(Kelinieran dari ∫ … dx). Andaikan f dan g mempunyai anti turunan (integral tak tentu) dan andaikan k suatu konstanta. Maka:

(i) ∫ k f(x) dx = k ∫ f(x) dx
(ii) ∫ [f(x) + g(x)] dx = ∫ f(x) dx + ∫ g(x) dx; dan tak tentu?
(iii) ∫ [f(x) – g(x)] dx = ∫ f(x) dx – ∫ g(x) dx

Teorema D

(Aturan Pangkat yang diperumum). Andaikan g suatu fungsi yang dapat didiferensialkan dari r suatu bilangan rasional yang bukan –1, maka :

∫ [g(x)]r g’(x) dx = {[g(x)]r+1/r+1} + C

2. Contoh soal
   
   Contoh Soal 1

Cari anti turunan yang umum dari f(x) = (8x – 7)
Penyelesaian :

∫ (8x – 7) dx = ∫ 8x dx - ∫ 7 dx

      = 8 ∫ x dx – 7 ∫ 1 dx

      = 8 ( x2/2 + C1 ) - 7 ( x + C2 )

      = 4x2 - 7x + ( 8C1 - 7C2 )

      = 4x2 - 7x + C

Contoh soal 2

Cari ∫ (3x2 + 2x ) dx !
Penyelesaian:

Berdasarkan Teorema C

∫ (3x2 + 2x ) dx = ∫ 3x2 dx + ∫ 2x dx
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3 ∫ x2 dx + 2∫ x dx
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3(x3/3 + C1) + 2(x2/2 + C2)
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3x3 + x2 + (3C1 + 2C2)
∫ (3x2 + 2x ) dx = 3x3 + x2 + C

Perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain terletak pada konstanta nya saja. Kenyataan ini berlaku untuk semua fungsi, hal ini dijamin oleh teorema
“Jika F′(x) = G′(x) untuk semua x dalam (a,b), maka terdapat konstanta C sedemikian hingga

F (x) = G(x) + C “

Adanya perbedaan anti turunan yang satu dengan yang lain hanya pada konstantanya maka terdapat bentuk anti turunan yang paling umum (merupakan keluarga fungsi) yang dinamakan anti diferensial.